理解混沌

　　物理學最美妙的一點便在于其“決定性”。假如你了解某個系統的全部特性（這里所說的“系統”可以是單個粒子、也可以是地球上的天氣規律、甚至可以是整個宇宙的演變史），也了解物理法則，你就可以精準地預測這個系統的未來走向。這就是所謂的“決定論”。物理學家正是利用這一點，對粒子、天氣和整個宇宙的未來演化過程進行預測的。

　　但我們發現，自然界既具有決定性，又具有不可預測性。我們最早在19世紀就意識到了這一點。當時的瑞典國王曾針對“三體問題”進行懸賞，誰能解決這一問題，便可得到獎勵。三體問題研究的主要是利用牛頓法則預測物體的運動軌跡。假如太陽系中有兩個天體僅靠引力發生相互作用，牛頓的物理法則便能精確預測出它們的未來。但假如向這個引力系統中引入第三個天體，就無法對該系統的未來進行預測了。

　　具有爭議性的超級天才、法國數學家亨利·彭加萊（Henri Poincaré）贏得了此次懸賞，但并未真正解決三體問題。相反，他針對該問題撰寫了一篇論文，詳細解釋了該問題不可解的原因。其中一個關鍵原因是，系統起始時哪怕只有一丁點微小差別，到結束時都會導致天差地別。

　　這一觀點在當并未得到重視，物理學家仍然認為宇宙是決定性的。一直到20世紀中葉，愛德華·洛倫茲（Edward Lorenz）利用早期計算機研究地球天氣的簡單模型后，科學家才開始轉變觀念。洛倫茲發現，每次他重啟模擬時，得到的結果都相差甚遠。這令他十分詫異，因為他每次輸入的數據都完全相同，而且他用的是計算機，理應很擅長做重復性工作才對。

　　事實上，這種模擬系統的初始條件具有極高的敏感性。哪怕開始時只有一點點化整誤差、連一百分之一都不到，也會導致該系統模擬出的天氣全然不同。

　　洛倫茲發現的這種現象，就是所謂的“混沌”。

　　暗中摸索

　　正如龐加萊最早發現的那樣，這正是混沌系統的標志性特征。一般來說，如果對系統的初始條件稍加改動，最終輸出的結果僅會稍有不同。但天氣系統并不是這樣。一次微不足道的變化（如一只蝴蝶在南美洲扇了一下翅膀）便可能使天氣發生巨變（如大西洋形成了一場新的颶風）。

　　事實上，混沌系統無處不在，甚至遍及整個宇宙。將一個單擺連接在另一個單擺末端，就得到了一個非常簡單、卻又十分混沌的系統；令龐加萊大傷腦筋的三體問題也是一個混沌系統；物種隨時間的演變也是一個混沌系統……沒錯，混沌的確無處不在。

　　初始條件的敏感性意味著，我們永遠無法對混沌系統做出準確預測，因為我們不可能得知系統所處的確切走向。只要在這一過程中偏離了一丁點，過了一段時間，你就搞不清系統的狀態了。

　　這就是天氣預報不可能百分之百精確的原因。

　　分形的秘密

　　在這種不可確定性和混沌背后，深藏著許多令人驚訝的特征。這些特征在“相空間”（phase space）中體現得淋漓盡致。“相空間”描述了一個系統在不同時間點上所處的狀態。如果你知道一個系統在特定時間擁有哪些屬性，就可以在相空間中描述出對應的點。隨著系統不斷演變，其狀態和屬性也在不斷變化。你可以再選取一個時間點，在相空間中描述出與該時間點對應的點。這般持續下去，相空間中描述的點越積越多。有了足夠多的點，你就可以觀察到系統在這一時期的行為變化了。

　　有些系統會呈現出一種名叫“吸引子”的規律：無論你從哪里啟動系統，它最終都會演變為自己傾向的某個特定狀態。例如，無論你在山谷中的哪個位置扔下一個球，它最終都會滾落到谷底。因此谷底就是這個系統的“吸引子”。

　　洛倫茲在研究上述簡單天氣系統的相空間時，也發現了一個吸引子。但這個吸引子不同于他之前見過的任何事物。他的天氣系統也有一定規律可言，但同一種狀態從未重復出現過。也就是說，相空間中永遠不會出現相互重疊的兩個點。

　　矛盾之處

　　這看上去明顯很矛盾：系統有一個吸引子，即系統會傾向于演變成某一系列狀態；但同一種狀態從未出現過兩次。唯一能描述這種特殊構造的只有所謂的“分形”結構。

　　假如將洛倫茲天氣系統的相空間的某一部分放大觀察，就會看到它的結構與整個相空間完全相同，只不過縮小了一些；而如果從這一部分中再截取出一部分放大觀察，又會看到同一個“吸引子”的縮小版……以此類推。這種無論怎么放大、看上去都與原來相同的結構就叫做“分形”。

　　因此，該天氣系統的確有一個吸引子，只是很奇特而已。因此科學家按字面意思將其命名為“奇異吸引子”。事實上，不僅是天氣系統、任何種類的混沌系統中都可能存在奇異吸引子。

　　我們尚未弄清奇異吸引子的本質、它們的重要性、以及如何在不可預測的混沌系統中運用它們。在數學界和科學界，這仍然是一片全新的領域。這些混沌系統在一定程度上也可能具有決定性和可預測性，只是我們目前還不甚了然。就目前來說，我們還是先努力解決天氣預報的問題吧。