1730年，被稱為“世界四大數學家雄獅”之一的瑞士數學家及物理學家歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：每一個偶完全數都是形如2^(p-1)(2^p-1)的自然數，其中p是素數，2^p-1也是素數。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個互逆定理，公式2^(p-1)(2^p-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。從那時起，偶完美數已成為了2^p-1型素數的“副產品”。
法國哲學家、數學家及物理學家笛卡爾曾公開預言：“能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完人亦非易事。”歷史證實了他的預言。2600多年來，人們歷盡艱辛，一共才找到51個完美數。有趣的是，這些完美數都是偶數；其個位數要么是6，要么就是8。而奇完美數至今還沒有被發現；如果有的話，其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素數。
2^p-1型素數被數學界稱為梅森素數，它是以17世紀法國數學家梅森命名的。梅森素數是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探究的熱點和難點之一。目前，世界上有近200個國家和地區超過24萬人參加一個名為“互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）”的國際項目，并動用了超過244萬核中央處理器（CPU）聯網來尋找新的梅森素數。可見，梅森素數的探究非?；鸨?mdash;—這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。
值得一提的是，在梅森素數的基礎研究方面，中國數學家及語言學家周海中經過長期的探究，于1992年給出了梅森素數分布的精確表達式；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師及菲爾茨獎和沃爾夫獎獲得者阿特勒·塞爾伯格指出：“周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。”周氏猜測已有30年歷史，這一猜測至今尚未被破解，它已成為著名的數學難題。
前不久，來自美國佛羅里達州的互聯網專家及數學愛好者帕特里克·拉羅什利用GIMPS項目，成功發現第51個梅森素數2^82589933-1。這等于發現了第51個偶完美數2^82589932（2^82589933-1），該數有49724095位，是目前人類已知的最大完美數；如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過200公里！
其實，完美數目前并不“完美”，它還有一些謎團尚未解決。例如：完美數是有限還是無窮多個？存在不存在奇完全數？這是當今數論領域的兩大著名難題。這些難題與其它科學難題一樣，有待人們去攻克。正如德國數論專家西格爾所言：“待到它們被完全破解時，完美數才算是真正的完美數。”
盡管我們現在還看不到完美數的實際用處，但它反映了自然數的某些基本規律。探究自然規律，揭開科學上的未知之謎，正是科學追求的目標。讓我們以數學大師希爾伯特的名言來結束這篇短文：“我們必須知道，我們必將知道。”
文/李超（作者單位：法國巴黎綜合理工學院數學研究中心）
